Adam Chudecki

Poniższa lista zawiera zagadnienia, nad którymi obecnie pracuję wraz z Zespołem Fizyki Teoretycznej.

1. Ścisłe i ogólne rozwiązania przestrzeni para-Kählerowskich. Badania przestrzeni typu $[\textrm{any}] \otimes [\textrm{D}]^{nn}$. Wyjątkowo interesujące są przede wszystkim Einsteinowskie przestrzenie typu $[\textrm{I}] \otimes [\textrm{D}]^{nn}$, bo nie znane są na razie jawne metryki takich przestrzeni. Ciekawym zagadnieniem byłoby też znalezienie nowych jawnych przykładów przestrzeni niebiańskich typu $[\textrm{I}] \otimes [\textrm{O}]$.
2. Geometria para-Kählerowskich, Einsteinowskich przestrzeni typu $[\textrm{D}]\otimes [\textrm{N}]$ w sygnaturze neutralnej. W tej klasie stała kosmologiczna jest koniecznie niezerowa, $\Lambda \ne 0$. Istnieją dwa typy: $\{ [\textrm{D}]^{nn} \otimes [\textrm{N}]^{e},[--,++] \}$ i $\{ [\textrm{D}]^{nn} \otimes [\textrm{N}]^{e},[++,++] \}$. Prawdopodobnie pierwszy z nich da się rozwiązać przy zachowaniu całkowitej ogólności. Ciekawym byłoby znalezienie przykładu należącego do drugiego typu.
3. Geometria para-Hermitowskich, Einsteinowskich przestrzeni typu $[\textrm{D}]\otimes [\textrm{N}]$ w sygnaturze neutralnej. W tej klasie mamy dwa typy, $[\textrm{D}]^{ee} \otimes [\textrm{N}]^{n}$ i $[\textrm{D}]^{ee} \otimes [\textrm{N}]^{e}$ które z kolei dzielą się na kilka podtypów w zależności od własności kongruencji zerowych geodezyjnych. Jawne przykłady są nieznane. 
4. Przestrzenie wyposażone w trzy i cztery kongruencje strun zerowych tej samej dualności. Znana jest postać metryki dopuszczającej trzy kongruencje strun zerowych, czyli przestrzeń typu $[\textrm{I,II}]^{eee} \otimes [\textrm{any}]$ (której szczególnym przypadkiem jest metryka typu $[\textrm{II}]^{nee} \otimes [\textrm{any}]$). Niemniej metryka typu $[\textrm{I}]^{eeee} \otimes [\textrm{any}]$ pozostaje nieznana. W tematyce tej zawarte jest również pytanie o ogólne metryki przestrzeni typu $[\textrm{I}]^{eeee} \otimes [\textrm{D}]^{nn}$ oraz $[\textrm{I}]^{eeee} \otimes [\textrm{O}]$ (które są para-Kählerowskie) i ich analiza (np: jakie algebraiczne typy tensora Ricciego są dopuszczane przez takie przestrzenie).
5. Przestrzenie wyposażone w cztery kongruencje geodezyjnych zerowych bez ścinania. Problem polega na znalezieniu postaci metryki dla przestrzeni lorentzowskiej, dopuszczającej cztery różne kongruencje zerowych geodezyjnych bez ścinania. O ile w ogóle taka struktura jest dopuszczana, przestrzeń musi być typu $[\textrm{I}]$ z materią. Jeśli taka struktura istnieje, jakie typy materii dopuszcza taka przestrzeń?
6. Wektory Killinga w przestrzeniach Walkera w wymiarze 4. Analiza symetrii Killinga w przestrzeniach typu $[\textrm{deg}]^{n} \otimes [\textrm{any}]$ (jak i w algebraicznych redukcjach tych przestrzeni). Ciekawe pytanie: czy w ogóle da się znaleźć jakiś odpowiednik równania master dla takich przestrzeni?
7. Zerowe wektory Killinga w przestrzeniach z $C_{ab} \ne 0$. Wiadomo, że w przestrzeniach Einsteinowskich jest silny związek między istnieniem kongruencji strun zerowych i zerowymi wektorami Killinga. Jak ten problem wygląda w przestrzeniach z niezerowym tensorem Ricciego?
8. Przestrzenie typu $[\textrm{N}] \otimes [\textrm{N}]$ - złożenie. Wiadomo (Plebański, Przanowski, Formański, 1998), że złożenie dwóch Einsteinowskich przestrzeni, typu $[\textrm{N}] \otimes [\textrm{O}]$ i $[\textrm{O}] \otimes [\textrm{N}]$ daje przestrzeń typu $[\textrm{N}] \otimes [\textrm{N}]$ ale z materią. Co da złożenie dwóch przestrzeni typów $[\textrm{N}] \otimes [\textrm{O}]$ i $[\textrm{O}] \otimes [\textrm{N}]$, ale niepróżniowych? Ogólną metryka przestrzeni typu $[\textrm{N}]^{n} \otimes [\textrm{O}]^{n}$ z materią jest znana. Należy znaleźć postać metryki $[\textrm{N}]^{e} \otimes [\textrm{O}]^{n}$ i sprawdzić, do czego prowadzą złożenia. 
9. Przestrzenie typu $[\textrm{N}]^{e} \otimes [\textrm{N}]^{e}$ z jedną symetrią. Czy założenie istnienia tylko jednego homotetycznego wektora w przestrzeni Einsteinowskiej typu $[\textrm{N}]^{e} \otimes [\textrm{N}]^{e}$ pozwoli na redukcję równań pola do jednego równania? Czy da się uzyskać jakiś odpowiednik metryki Hausera?
10. Przestrzenie typu $[\textrm{N}] \otimes [\textrm{N}]$ z $\Lambda \ne 0$. Wiadomo, że obecność stałej kosmologicznej upraszcza (nieco) problem typu $[\textrm{N}]$ z twistem. Wiadomo też, że przy $\Lambda \ne 0$ istnieją tylko trzy rodzaje takich przestrzeni: $\{ [\textrm{N}]^{e} \otimes [\textrm{N}]^{e},[--] \}$, $\{ [\textrm{N}]^{e} \otimes [\textrm{N}]^{e},[+-] \}$ i $\{ [\textrm{N}]^{e} \otimes [\textrm{N}]^{e},[++] \}$. Czy uda się drogą cięć lorentzowskich odtworzyć znane rozwiązania i znaleźć nowe?

Zagadnienia 1-4 i 6 mają znaczenie w badaniach przestrzeni o sygnaturze neutralnej $(++--)$. Zagadnienia 8-10 dotyczą analizy nierozwiązanego od ponad 50 lat problemu lorentzowskiego typu $[\textrm{N}]$ z twistem. Aparatem stosowanym w analizie każdego z problemów są metody zespolone i formalizm spinorowy.

Roboczy temat pracy doktorskiej która obejmuje badania powyższych problemów to Przestrzenie hiperniebiańskie i ich cięcia rzeczywiste. Do jej realizacji potrzebna jest podstawowa wiedza z zakresu geometrii różniczkowej, ogólnej teorii względności i równań różniczkowych cząstkowych. Do sfinalizowania rozprawy potrzeba 4-5 lat.

Artykuły:

• Hyperheavenly spaces and their application in Walker and para-Kähler geometries: Part II, Journal of Geometry and Physics 188, 104826 (2023); arXiv, link
• Hyperheavenly spaces and their application in Walker and para-Kähler geometries: Part I, Journal of Geometry and Physics 179, 104591 (2022); arXiv, link
• Two-sided conformally recurrent self-dual spaces, Journal of Geometry and Physics 159, 103933 (2021); arXiv; link
• Classification of complex and real vacuum spaces of the type $[\textrm{N}] \otimes [\textrm{N}]$, Journal of Mathematical Physics 59, 062503 (2018); arXiv; link
• On twisting type $[\textrm{N}] \otimes [\textrm{N}]$ Ricci flat complex spacetimes with two homothetic symmetries, Journal of Mathematical Physics 59, 042504 (2018) (współautor: M. Przanowski); arXiv; link
• On geometry of congruences of null strings in 4-dimensional complex and real pseudo-Riemannian spaces, Journal of Mathematical Physics 58, 112502 (2017); arXiv; link
• On some examples of para-Hermite and para-Kähler Einstein spaces with $\Lambda \ne 0$, Journal of Geometry and Physics 112, 175–196 (2017); arXiv; link
• Classification of the traceless Ricci tensor in 4-dimensional pseudo-Riemannian spaces of neutral signature, Acta Physica Polonica B, Vol. 48, No. 1, 53-74 (2017); arXiv; link
• All complex and real ASD Einstein spaces with $\Lambda$ admitting nonnull Killing vector, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 13, No. 2, 1650011 (2016); arXiv; link
• Proper conformal symmetries in self-dual Einstein spaces, Journal of Mathematical Physics 55, 082502 (2014); (współautor: M. Dobrski) arXiv; link
• Null Killing vectors and geometry of null strings in Einstein Spaces, General Relativity and Gravitation 46, 1714 (2014); arXiv; link
• Killing Symmetries in $\mathcal{H}$ spaces with $\Lambda$, Journal of Mathematical Physics 54, 102503 (2013); (współautor: M. Przanowski) arXiv; link
• Homothetic Killing vectors in expanding $\mathcal{HH}$-spaces with $\Lambda$, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 10, No. 1, 1250077 (2013); arXiv; link
• Classification of the Killing vectors in nonexpanding $\mathcal{HH}$-spaces with $\Lambda$, Classical and Quantum Gravity 29, 135010 (2012); arXiv; link
• Notes on para-Hermite-Einstein spacetimes, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 9, No. 1, 1250008 (2012); (współautorzy: M. Przanowski i S. Formański) link
• Conformal Killing vectors in nonexpanding $\mathcal{HH}$-spaces with $\Lambda$, Classical and Quantum Gravity 27, 205004 (2010); link
• From hyperheavenly spaces to Walker and Osserman spaces: II, Classical and Quantum Gravity 25, 235019 (2008); (współautor: M. Przanowski) link
• From hyperheavenly spaces to Walker and Osserman spaces: I, Classical and Quantum Gravity 25, 145010 (2008); (współautor: M. Przanowski) link
• A simple example of type-$[\textrm{N}]\otimes[\textrm{N}]$ $\mathcal{HH}$-spaces admitting twisting null geodesic congruence, Classical and Quantum Gravity 25, 055010 (2008); (współautor: M. Przanowski) link

Artykuły konferencyjne:

• Complex and real para-Kähler Einstein spaces, Acta Physica Polonica B Proceedings Supplement, Vol. 16, No. 6 (2023); link
• Two-sided Walker and para-Kähler Spaces and Real Slices of Hyperheavenly Spaces, Acta Physica Polonica B Proceedings Supplement, Vol. 15, No. 1 (2022); link
• On Some Solutions of the Type [D] Self-dual Spaces, Acta Physica Polonica B Proceedings Supplement, Vol. 13, No. 2 (2020); link
• Congruences of null strings and their relations with Weyl tensor and traceless Ricci tensor, Acta Physica Polonica B Proceedings Supplement, Vol. 10, No. 2 (2017); link